倘若我们一直是用十二进位法记数的，在数学的世界里将有什么变化呢？
不客气地说，毫没有两样，因为数学虽是从数出发，但和记数的方法却很少关联。若客气点说，那么这样便很天公地道了。算理是没有两样的，只是在数的实际计算上有点出入。最明白的就是加法和乘法的进位以及减法和除法的退位。自然像加法和乘法的九九表便应当叫“依依”表，也就有点不同了。例如：（24e2-t78）×143
上面的算法（1）是减，个位2减去8，不够，从什位退1下来，因为上位的1是等于下位的12，所以一共是14，减去8，就剩6。什位的e（11）退去1剩t（10），减去7剩3。佰位的4减去t，不够，从仟位退1成16，减去t（10）便剩6。
（2）先是分位乘，3乘6得18，等于12加6，所以进1剩6。其次3乘3得9，加上进位的1得t，……再用4乘6得24，恰是2个12，所以进2剩0。其次4乘3得12，恰好进1而本位只剩下位进来的2……三位都乘了以后再来加。末两位和平常的加法完全一样，第三位6加2加6得14等于12加2，所以进1剩2。
再来看除法，就用前面将十二进法改成十进法的例子。
这计算的结果和上面的一样，也是12401。至于计算的方法：在第一式，t（10）除72商8，8乘t得80，等于6个12加8，所以从72中减去68而剩6。其次t除61商7，7乘t得70，等于5个12加10，所以从61减去5t而剩3。再次t除35商4，4乘t得40，等于3个12加4，所以从35中减去34而剩1。第二、第三、第四式和第一式的算法完全相同，不过第四式的被除数10是一什在十进法应当是12，这一点应当注意。
照这除法的例子看起来，十二进法比十进法好似麻烦得多。但是，朋友！倘若你只是觉得是这样，那还情有可原，倘若你认为根本就是如此，那便是你上了你的十个小宝贝的当的缘故。上面的说明是为了你弄惯了十进法，对于十二进法，还是乍相逢，所以不得不兜圈子。其实你若从小就只懂得十二进法，你所记的自然是乘法“依依”表——见前——而不是九九乘法表。你算起来“梯”除七什二，自然会商八，八乘“梯”自然只得六什八，你不相信吗？就请你看十二进法的乘法“依依”表。
123456789te
1123456789te
22468t10121416181t
33691013161920232629
448101418202428303438
55t131821262e34394247
6610162026303640465056
771219242e364148535t65
8814202834404854606874
9916233039465360697683
tt18263442505t68768492
ee1t2938475665748392t1
看这个表的时候，应当注意，1、2、3、…、9和九九乘法表一样的，10、20、30……却是一什（12），二什（24），三什（36）。
倘若和九九乘法表对照着看，你可以发现表中的许多关系全是一样的。举两个例子说：第一，从左上到右下这条对角线上的数是平方数；第二，最末一排第一位次第少1，在九九乘法表是9、8、7、6、5、4、3、2、1，第二位是次第多1，在九九乘法表是0、1、2、3、4、5、6、7、8，还有每个数两位的和全是比进位的底数少1，在“依依”表是“依”，在九九表是“九”。
在数学的世界中除了这些不同，还有什么差异没有？
要搜寻起来自然是有的。
第一，四则问题中的数字计算问题。
第二，整数的性质中的倍数的性质。
这两种的基础原是建筑在记数的进位法上面，当然要有些面目不同，但也不过面目不同而已。且举几例在下面，来结束这一篇玩意儿。
（1）四则中数字计算问题：例如“有二位数，个位数字同十位数字的和是六，若从这数减十八，所得的数，恰是把原数的个位数字同十位数字对调成的，求原数”。
解这一种题目的基本原理有两个：
（a）两位数和它的两数字对调后所成的数的和，等于它的两数字和的“11”倍。如83加38得121，便是它的两数字8同3的和11的“11”倍。
（b）两位数和它的两数字对调后所成的数的差，等于它的两数字差的“9”倍。如83减去38得45，便是它的两数字8同3的差5的“9”倍。
运用这第二个原理到上面所举的例题。因为从原数减18所得的数恰是把原数的个位数字同十位数字对调成的，可知原数和两数字对调后所成的数的差为18，而原数的两数字的差为18÷9=2。题上又说原数的两数字的和为6，应用和差算的法则便得：
（6+2）÷2=4……十位数字，（6-2）÷2=2……个位数字，而原数为42。
解这类题目的两个基本原理，是怎样来的呢？现在我们试来考察一下。
（a）83=8×10+3，38=3×10+8
∴83+38=（8×10+3）+（3×10+8）
=8×10+8+3×10+3
=8×（10+1）+3×（10+1）
=8×11+3×11
=（8+3）×11
这式子最后的一段中，8+3正是83的两数字的和，用11去乘它，便得出“11”倍来，但这11是从10加1来的，10是十进记数法的底数。
（b）83-38=（8×10+3）-（3×10+8）
=8×10-8-3×10+3
=8×（10-1）-3×（10-1）
=8×9-3×9
=（8-3）×9
这式子最后的一段中，8-3正是83的两数字的差，用9去乘它，便得出“9”倍来。但这9是从10减去1来的，10是十进记数法的底数。
将上面的证明法，推到一般去，设记数法的底数为r，十位数字为a1，个位数字为a2，则这两位数为a1r+a2，而它的两位数字对调后所成的数为a2r+a1。所以
（a）（a1r+a2）+（a2r+a1）=a1r+a1+a2r+a2
=a1（r+1）+a2（r+1）
=（a1+a2）（r+1）
（b）（a1r+a2）-（a2r+a1）=a1r+a2-a2r-a1
=a1r-a1-a2r+a2
=a1（r-1）-a2（r-1）
=（a1-a2）（r-1）
第一原理（a）应当这样说：
两位数和它的两数字对调后所成的数的和，等于它的两数字和的r+1倍。r是记数法的底数，在十进法为10，故r+1为“11”；在十二进法为12，故r+1为13（照十进法说的），在十二进位法便也是11（一什一）。
第二原理（b）应当这样说：
两位数和它的两数字对调后所成的数的差等于它的两数字差的r-1倍，在十进法为“9”，在十二进法为“e”。
由这样看来，前面所举的例题，在十二进法中是不能成立的，因为在十二进法中，42减去24所剩的是1t而不是18，若照原题的形式改成十二进法的，那应当是：
“有二位数，……若从这数减什梯（1t）……”
它的计算法就完全一样，不过得出来的42是十二进法的四什二而不是十进法的四十二。
（2）关于整数的倍数的性质，且就十进法和十二进法两