昨天马先生结束了四则问题以后，曾经叫我们复习关于质数、最大公因数和最小公倍数的问题。夜晚很好，天气不十分热，我取了《开明算术教本》上册，阅读关于这些事项的第七章。从前学习它的时候，是否感到困难，印象已很模糊了。现在要说“一点困难没有”，我不敢这样自信。不过，像从前遇见四则问题那样地“丈二和尚”摸不着头脑，确实没有。也许其中的难点，我不曾发觉吧！怀着这样的心情，今天，到课堂去听马先生的讲。
“我叫你们复习的，都复习过了吗？”马先生一走上讲台就问。
“复习过了！”两三个人齐声回答。
“那么，有什么问题？”
各人都是瞠起两眼，望着马先生，没有一个问题提出来。马先生在这静默中，看了全体一遍：
“学算学的人，大半在这一部分不会感到什么困难的，大约你们也不会有什么问题了。”
我不曾发觉什么困难，照这样说，自然是由于这部分材料，比较容易的缘故。心里这么一想，就期待着马先生的下文。
“既然大家都没有问题，我且提出一个来问你们：这部分材料，我们也用得着画图来处理它吗？”
“那似乎可以不必了！”周学敏回答。
“似乎？可以就可以，不必就不必，何必‘似乎’！”马先生笑着说。
“不必！”周学敏斩钉截铁地说。
“问题不在‘必’和‘不必’。既有了这样一种法门，正可拿它来试试，看变得出什么花样锦来，不是也有趣吗？”马先生说完，停了一停，再问：
“这一部分所处理的材料，是些什么？”
当然，这是谁也回答得上来的，大家抢着说：
“找质数。”
“分质因数。”
“求最大公因数和最小公倍数。”
“归根结底，不过是判定质数和计算倍数与因数，——这只是一种关系的两面，12是6、4、3、2的倍数；反过来看，6、4、3、2便是12的因数了。”马先生这样结束了大家的话，而掉转话头：
“闲言少说，言归正传。你们将横线每一大段当1表示倍数，纵线每一小段当1表示数目，画表示2的倍数和3的倍数的两条线。”
这只是“定倍数”的问题，已没有一个人不会画了。马先生在黑板上也画了一个——图75。
“从这图上，可以看出些什么来？”马先生问。
“2的倍数是2、4、6、8、10、12。”我答。
“3的倍数是3、6、9、12、15、18。”周学敏答。
“还有呢？”
“5、7、11、13、17都是质数。”王有道答。
“怎么看出来的？”
这几个数都是质数，我原是晓得的，但由图上，怎样看得出来，我却茫然。马先生的这么一追问，真是“实获我心”了。
“OA和OB两条线都没有经过它们，所以它们既不是2的倍数，也不是3的倍数……”王有道说到这里，突然停住了。
“怎样？”马先生问道。
“它们总是质数呀！”王有道很不自然地说。这一来大家都已觉到，这里面一定有了漏洞，王有道大约已明白了。不期然而然地，一齐笑起来。笑，我也是跟着笑的，不过我并不曾将这漏洞觉到。
“这没有什么可笑。”马先生很郑重地说，“王有道，你回答的时候也有点迟疑了，为什么呢？”
“由图上看来，它们都不是2和3的倍数，而且我知道它们都是质数，所以我那样说。但突然想到，25既不是2和3的倍数，也不是质数，便疑惑起来了。”王有道这么一解释，我才恍然大悟，漏洞原是在这里。
马先生露出很满意的神气，接着说：
“其实这个判定法，本是对的，不过欠精密一点，你是上了图的当。假如图还画得详细些，你就不会这样说了。”马先生叫我们另画一个较详细些的图——图76——将表示2、3、5、7、11、13、17，19、23、29、31、37、41、43、47各倍数的线都画出来。（这里的图，右边截去了一部分。）不用说，这些数都是质数。由图上，50以内的合数当然很明白地可以看出来。不过，我很有点儿怀疑——马先生原来是要我们从图上找质数，既然把表示质数的倍数的线都画了出来，还用得找什么质数呢？
马先生还叫画一条表示6的倍数的线，OP。他说：“由这张图看，当然再不会说，不是2和3的倍数的，便是质数了。你们再用表示6的倍数的一条线OP作标准，仔细看一看。”
经过十来分钟的观察，我发现了：
“质数都比6的倍数差1。”
“不错，”马先生说，“但是应得补充一句——除了2和3。”这确实是我所不曾注意到的。
“为什么5以上的质数都比6的倍数差1呢？”周学敏提出了这样一个问题。
马先生叫我们回答，但没有人答得上来，他说：
“这只是事实问题，不是为什么的问题。换句话说，便是整数的性质本来如此，并不为点什么。”对于这个解释，大家都好像有点莫名其妙，没有一个人说话。马先生接着说：
“一点也不稀罕！你们想一想，随便一个数，用6去除，结果怎样？”
“有的除得尽，有的除不尽。”周学敏说。
“除得尽的就是6的倍数，当然不是质数。除不尽的呢？”
没有人回答，我也想得到有的是质数，如23；有的不是质数，如25。马先生见没有人回答，便这样说：
“你们想想看，一个数用6去除，若除不尽，它的余数是什么？”
“1，例如7。”周学敏说。
“5，例如17。”另一个同学说。
“2，例如14。”又是一个同学说。
“4，例如10。”其他两个同学同时说。
“3，例如21。”我也想到了。
“没有了。”王有道来一个结束。
“很好！”马先生说，“用6除剩2的数，有什么数可把它除尽吗？”
“2。”我想它用6除了剩2，当然是个偶数，可用2除得尽。
“那么，除了剩4的呢？”
“一样！”我很高兴地说。
“除了剩3的呢？”
“3！”周学敏很快地说。
“用6除了剩1或5的呢？”
这我也明白了。5以上的质数既不能用2和3除得尽，当然也不能用6除得尽。用6去除不是剩1便是剩5，都和6的倍数差1。
不过马先生又另外提出一个问题：
“5以上的质数都比6的倍数差1，掉转头来，可不可以这样说呢？——比6的倍数差1的都是质数？”
“不！”王有道说，“例如25是6的4倍多1，35是6的6倍少1，都不是质数。”
“这就对了！”马先生说，“所以你刚才用不是2和3的倍数来判定一个数是质数，是不精密的。”
“马先生！”我的疑问始终不能解释，趁他没有说下去，我便问：“由作图的方法，怎样可以判定一个数是不是质数呢？”
“这是应当有的问题，刚才，画的线都是表示质数的倍数的，你们会想到，这不能用来判定质数。但是若果从画图的过程看，就可明白了。首先画的是表示2的倍数的线OA，由它，你们可以看出哪些数不是质数？”
“4、6、8……一切偶数。”我答道。
“接着画表示3的倍数的线OB呢？”
“6、9、12……”一个同学说。
“4既不是质数，上面一个是5，第三就画表示5的倍数的线OC。”这一来又得出它的倍数10、15等等。再依次上去，6已是合数，所以只好画表示7的倍数的线OD。接着，8、9、10都是合数，只好画表示11的倍数的线OE。照这样做下去，把合数渐渐地淘汰了去，所画的线所表示的不是全都是质数的倍数吗？——这个图，我们无妨叫它质数图。”
“我还