暑假已快完结，马先生的讲述，这已是第三十次。全部算术中的重要题目，可以说，十分之九都提到了。还有许多要点，是一般的教科书上不曾讲到的。这个暑假，我算过得最有意义了。
今天，马先生来结束全部的讲授。他提出混合比例的问题，照一般算术教科书的说法，把混合比例的问题分成四类，马先生也就照这种顺序讲。
第一，求平均价。
例一：上等酒2斤，每斤3角5分；中等酒3斤，每斤3角；下等酒5斤，每斤2角。三种相混，每斤值多少？
这又是已经讲过的——第十三节——老题目，但周学敏这次却不开腔了，大约他和我一样，正期待着马先生的花样翻新吧。
“这个题目，在第十三节已讲过，你们还记得吗？”马先生问。
“记得的！”好几个人回答。
“现在，我们已有了比例的概念和它的表示法，无妨改变一个花样。”果然马先生要调换一种方法了，“你们用纵线表示价钱，横线表示斤数，先画出正好表示上等酒2斤一共的价钱的线段。”
当然，这是非常容易的，我们画了OA线段。
“再从A起画表示中等酒3斤一共的价钱的线段。”
我们又作AB。
“又从B起画表示下等酒五斤一共的价钱的线段。”
这就是BC。
“联结OC。”我们照办了。
马先生问：“由OC看来，三种酒一共值多少钱？”
“2元6角。”我说。
“一共几斤？”
“10斤。”周学敏说。
“怎样找出1斤的价钱呢？”
“由指示一斤的D点。”王有道说，“画纵线和OC交于E，由E横过去得F，它指出2角6分来。”
“对的！这种作法，并不见得比第十三节所用的简单，不过对于以后的题目说，却比较适用。”马先生这样做一个小小的结束。
第二，求混合比。
例二：上茶每斤价1元2角，下茶每斤价8角。现在要混成每斤价9角5分的茶，应依照怎样的比配合？
依了前面马先生所给的暗示，我先作好表示每斤1元2角、每斤8角和每斤9角5分的三条线OA，OB和OC。再将它和图139比较一下，我就想到将OB搬到OC的上面去，便是由C作CD平行于OB。它和OA交于D，由D往下到横线上得E。
上茶∶下茶=OE∶EF=9∶15=3∶5。
上茶3斤值3元6角，下茶5斤值4元，一共8斤值7元6角，每斤正好值9角5分。
自然，将OA搬到OC的下面，也是一样的。即过C作CH平行于OA，它和OB交于H。由H往下到横线上，得K。
下茶∶上茶=OK∶KF=15∶9=5∶3。
结果完全一样，不过顺序不同罢了。
其实这个比由A1，C1，B1和A2，C2，B2的关系就可看出来的：
A1C1∶C1B1=5∶3
把这种情形，和算术上的计算法比较，更是有趣。
平均价0.95元（OC）原价损益混合比
上1.20元（OA）
下0.80元（OB）-0.25%（A2C2）
0.15元（B2C2）15（EF）
9（OE）5（A1C1或A2C2）
3（C1B1或C2B2）
例三：有四种酒，每斤的价为：A，5角；B，7角；C，1元2角；D，1元4角。怎样混合，可成每斤价9角的酒？
作图是容易的，依每斤的价钱，画OA、OB、OC、OD和OE五条线。再过E作OA的平行线，和OC、OD交于F，G。又过E作OB的平行线，和OC、OD交于H、I。由F、G、H、I各点，相应地便可得出A和C，A和D，B和C，同着B和D的混合比来。配合这些比，就可得所求的数。因为配合的方法不同，形式也就各别了。
马先生说，本题由F、G、H、I各点去找A和C，A和D，B和C，同着B和D的比，反不如就AE、BE、CE、DE看，来得简明。依照这个看法：
AE=12，BE=6，
CE=9，DE=15。
因为只用到它们的比，所以可变成：
AE=4，BE=2，
CE=3，DE=5。
再注意把它们的损益相消，就可以配合成了。
配合的方式，本题可有七种。马先生叫我们共同考察，将算术上的算法，和图对起来看，这实在是又切实又有趣的工作。本来，我们单是照呆法子计算的时候，方法虽懂得，结果虽不差，但心里面总是模糊的。现在，经过这一番的探讨，才算一点不含糊地明了了。
配合的方式，可归结成三种，就依照这样，分别写在下面：
（一）损益各取一个相配的，在图上，就是OE线的上（损）和下（益）各一个相配。
（1）A和D，B和C配。
（2）A和C，B和D配。
（二）取损或益中的一个和益或损中的两个分别相配，其他一个损或益和一个益或损相配：
（3）D和A，B各相配，C和A配。
（4）D和A，B各相配，C和B相配。
（5）C和A，B各相配，D和A相配。
（6）C和A，B相配，D和B相配。
（三）取损或益中的每一个，都和益或损中的两个相配：
（7）D和C各都同A和B相配。
第三，求混合量——知道了全量。
例四：鸡、兔同一笼，共19个头，52只脚，各有几只？
这原是马先生说过——第十节——在混合比例中还要讲的。到了现在，平心而论，我已理会得它的算法了：先求混合比，再依按比分配的方法，把总数分开就行的。
且先画图吧。用纵线表示脚数，横线表示头数，A就指出19个头同52只脚。
连OA表示平均的脚数，作OB和OC表示兔和鸡的数目。又过A作AD平行于OC，和OB交于D。
由D往下看到横线上，得E。OE指示7，是兔的只数；EF指出12，是鸡的只数。
计算的方法，虽然很简单，却不如作图法的简明：
在这里，因为混合比的两项12同7的和正是19，所以用不到再计算一次按比分配了。
例五：上、中、下三种酒，每斤的价是3角5分、3角和2角。要混合成每斤2角5分的酒100斤，每种需多少？
作OA，OB，OC和OD分别表示每斤价2角5分、3角5分、3角和2角的酒。这个图正好表出：上种酒损1角，BA；中种酒损5分，CA；而下种酒益5分，DA。因而混合比是：
依这个比，在右边纵线上取1和3，过1和3作线平行于OA，交横线于80和40。从80到100是20，从40到100是60。即上酒20斤、中酒20斤、下酒60斤。
算法和前面的一样，不过末了须按1∶1∶3的比分配100斤罢了。所以，本不想把式子写出来。
但是，马先生却问：“这个结果自然是对的了，还有别的分配法没有呢？”
为了回答这个问题，只得将式子写出来。
混合比仍是1∶1∶3，把100斤分配下来，自然仍是20斤、20斤和60斤了，还有什么疑问呢？
不！但是不！马先生说：“比是活动的，在这里，上比下和中比下，各为5∶10和5∶5，也就是1∶2和1∶1。从根底上讲，只要按照这两个比，分别取出各种酒相混合，损益都正好相抵消而合于平均价，所以：
（1）和（2）是已用过的，（3）（4）（5）（6）和（7）都可得出答数来。”
是的，由（3），1、11、13的和是25，所以：
由（4），2、7、11的和是20，所以：
由（5），3、8、14的和是25，所以：
由（6），6、1、13的和是20